下列C++代码用循环链表解决约瑟夫问题，即假设 n 个人围成一圈，从第一个人开始数，每次数到第 k 个的人就出圈，输出最后留下的那个人的编号。横线上应填写？（ ）

struct Node {
    int data;
    Node* next;
};
Node* createCircularList(int n) {
    Node* head = new Node {1, nullptr};
    Node* prev = head;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        Node* node = new Node {i, nullptr};
        prev->next = node;
        prev = node;
    }
    prev->next = head;
    return head;
}
int fingLastSurvival(int n, int k) {
    Node* head = createCircularList(n);
    Node* p = head;
    Node* prev = nullptr;
    while (p->next != p) {
        for (int count = 1; count < k; ++count) {
            prev = p;
            p = p->next;
        }
        _______________________
    }
    cout << "最后留下的人编号是: " << p->data << endl;
    delete p;
    return 0;
}

prev->next = p->next;
delete p;
p = prev->next;

delete p;
prev->next = p->next;
p = prev->next;

delete p;
p = prev->next;
prev->next = p->next;

prev->next = p->next;
p = prev->next;
delete p;

基于上题代码正确的前提下，填入相应代码完善 append() ，用于在双向链表尾部增加新节点，横线上应填写？（ ）

void append(int data) {
    Node* newNode = new Node {data, nullptr, nullptr};
    if (is_empty()) {
        head = tail = newNode;
    } else {
        _______________________
    }
    ++size;
}

下面C++代码实现双向链表。函数 is_empty() 判断链表是否为空，如链表为空返回 true ，否则返回false 。横线处不能填写？（ ）

// 节点结构体
struct Node {
    int data;
    Node* prev;
    Node* next;
};
// 双向链表结构体
struct DoubleLink {
    Node* head;
    Node* tail;
    int size;
    DoubleLink() {
        head = nullptr;
        tail = nullptr;
        size = 0;
    }
    ~DoubleLink() {
        Node* curr = head;
        while (curr) {
            Node* next = curr->next;
            delete curr;
            curr = next;
        }
    }
    // 判断链表是否为空
    bool is_empty() const {
        _______________________
    }
};

硬币找零问题中要求找给客户最少的硬币。 coins 存储可用硬币规格，单位为角，假设规格都小于10角，且一定有1角规格。 

amount 为要找零的金额，约定必须为1角的整数倍。输出为每种规格及其数量，按规格从大到小输出，如果某种规格不必要，则输出为0。

下面是其实现代码，相关说法正确的是？（ ）

const int MAX_COINS = 10;
int result[MAX_COINS] = {0}; // 假设最多10种面额
int find_coins(const vector<int>& coins, int amount) {
    sort(coins.begin(), coins.end(), greater<int>());
    int n = coins.size();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int coin = coins[i];
        int num = amount / coin;
        result[i] = num;
        amount -= num * coin;
        if (amount == 0) break;
    }
    cout << "找零方案如下：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cout << sorted_coins[i] << "角需要" << result[i] << "枚" << endl;
    }
    return 0;
}

下面的 C++ 代码用于在升序数组 lst 中查找目标值 target 最后一次出现的位置。相关说法，正确的是？（ ）

int binary_search_last_occurrence(const vector<int>& lst, int target) {
    if (lst.empty()) return -1;
    int low = 0, high = lst.size() - 1;
    while (low < high) {
        int mid = (low + high + 1) / 2;
        if (lst[mid] <= target) {
            low = mid;
        } else {
            high = mid - 1;
        }
    }
    if (lst[low] == target)
        return low;
    else
        return -1;
}

下列C++代码判断一个正整数是否是质数，说法正确的是？（ ）

bool is_prime(int n) {
    if (n <= 1)
        return false;
    if (n == 2 || n == 3 || n == 5)
        return true;
    if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0 || n % 5 == 0)
        return false;
    int i = 7;
    int step = 4;
    int finish_number = sqrt(n) + 1;
    while (i <= finish_number) {
        if (n % i == 0)
            return false;
        i += step;
        step = 6 - step;
    }
    return true;
}

for (int i = 2; i < finish_number; i++) {
    if (n % i == 0)
        return false;
}
return true;

下列C++代码用两种方式求解两个正整数的最大公约数，说法【错误】的是？（ ）

int gcd0(int big, int small) {
    if (big < small) {
        swap(big, small);
    }
    if (big % small == 0) {
        return small;
    }
    return gcd0(small, big % small);
}
int gcd1(int big, int small) {
    if (big < small) {
        swap(big, small);
    }
    for (int i = small; i >= 1; --i) {
        if (big % i == 0 && small % i == 0)
            return i;
    }
    return 1;
}

下面的C++代码，用于求一系列数据中的最大值。有关其算法说法【错误】的是？（ ）

int find_max_recursive(const vector<int>& nums, int left, int right) {
    if (left == right)
        return nums[left];
    int mid = left + (right - left) / 2;
    int left_max = find_max_recursive(nums, left, mid);
    int right_max = find_max_recursive(nums, mid + 1, right);
    return max(left_max, right_max);
}
int find_max(const vector<int>& nums) {
    if (nums.empty()) {
        throw invalid_argument("输入数组不能为空");
    }
    return find_max_recursive(nums, 0, nums.size() - 1);
}

下面的C++代码，用于求一系列数据中的最大值。有关其算法说法【错误】的是？（ ）

int find_max(const vector<int>& nums) {
    if (nums.empty()) {
        throw invalid_argument("输入数组不能为空");
    }
    int max_value = nums[0];
    for (int num : nums) {
        if (num > max_value) {
            max_value = num;
        }
    }
    return max_value;
}

小杨编写了一个如下的高精度除法函数，则横线上应填写的代码为？（ ）

const int MAXN = 1005; // 最大位数
struct BigInt {
    int d[MAXN]; // 存储数字，d[0]是个位，d[1]是十位，...
    int len; // 数字长度
    BigInt() {
        memset(d, 0, sizeof(d));
        len = 0;
    }
};
// 比较两个高精度数的大小
int compare(BigInt a, BigInt b) {
    if(a.len != b.len) return a.len > b.len ? 1 : -1;
    for(int i = a.len - 1; i >= 0; i--) {
        if(a.d[i] != b.d[i]) return a.d[i] > b.d[i] ? 1 : -1;
    }
    return 0;
}
// 高精度减法
BigInt sub(BigInt a, BigInt b) {
    BigInt c;
    for(int i = 0; i < a.len; i++) {
        c.d[i] += a.d[i] - b.d[i];
        if(c.d[i] < 0) {
            c.d[i] += 10;
            c.d[i+1]--;
        }
    }
    c.len = a.len;
    while(c.len > 1 && c.d[c.len-1] == 0) c.len--;
    return c;
}
// 高精度除法（a/b，返回商和余数）
pair<BigInt, BigInt> div(BigInt a, BigInt b) {
    BigInt q, r; // q是商，r是余数
    if(compare(a, b) < 0) { // 如果a<b，商为0，余数为a
        q.len = 1;
        q.d[0] = 0;
        r = a;
        return make_pair(q, r);
    }
    // 初始化余数r为a的前b.len位
    r.len = b.len;
    for(int i = a.len - 1; i >= a.len - b.len; i--) {
        r.d[i - (a.len - b.len)] = a.d[i];
    }
    // 逐位计算商
    for(int i = a.len - b.len; i >= 0; i--) {
        // 把下一位加入余数
        if(r.len > 1 || r.d[0] != 0) {
            for(int j = r.len; j > 0; j--) {
                r.d[j] = r.d[j-1];
            }
            _______________________
        } else {
            r.d[0] = a.d[i];
            r.len = 1;
        }
        // 计算当前位的商
        while(compare(r, b) >= 0) {
            r = sub(r, b);
            q.d[i]++;
        }
    }
    // 确定商的长度
    q.len = a.len - b.len + 1;
    while(q.len > 1 && q.d[q.len-1] == 0) q.len--;
    // 处理余数前导零
    while(r.len > 1 && r.d[r.len-1] == 0) r.len--;
    return make_pair(q, r);
}

唯一分解定理描述了关于正整数的什么性质？（ ）

与数组相比，链表在（ ）操作上通常具有更高的效率？

下面的代码用于判断整数 n 是否是质数，错误的说法是？（ ）

bool is_prime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    int finish_number = static_cast<int>(sqrt(n)) + 1;
    for (int i = 2; i < finish_number; ++i) {
        if (n % i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

关于下述C++代码的快速排序算法，说法【错误】的是？（ ）

int randomPartition(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    int random = low + rand() % (high - low + 1);
    std::swap(arr[random], arr[high]);
    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;
    for (int j = low; j < high; j++) {
        if (arr[j] <= pivot) {
            i++;
            std::swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    std::swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}
void quickSort(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pi = randomPartition(arr, low, high);
        quickSort(arr, low, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, high);
    }
}

有关下面C++代码的说法，【错误】的是？（ ）

double sqrt_binary(long long n, double epsilon = 1e-10) {
    if (n < 0) {
        throw invalid_argument("输入必须为非负整数");
    }
    if (n == 0 || n == 1) return n;
    // 阶段 1
    long long low = 1, high = n;
    long long k = 0;
    while (low <= high) {
        long long mid = (low + high) / 2;
        long long mid_sq = mid * mid;
        if (mid_sq == n) {
            return mid;
        } else if (mid_sq < n) {
            k = mid;
            low = mid + 1;
        } else {
            high = mid - 1;
        }
    }
    long long next_k = k + 1;
    if (next_k * next_k == n) {
        return next_k;
    }
    // 阶段 2
    double low_d = (double)k;
    double high_d = (double)(k + 1);
    double mid;
    while (high_d - low_d >= epsilon) {
        mid = (low_d + high_d) / 2;
        double mid_sq = mid * mid;
        if (mid_sq < n) {
            low_d = mid;
        } else {
            high_d = mid;
        }
    }
    double result = (low_d + high_d) / 2;
    long long check_int = (long long)(result + 0.5);
    if (check_int * check_int == n) {
        return check_int;
    }
    return result;
}

函数 puzzle 定义如下，则调用 puzzle(7) 程序会无限递归。（ ）

int puzzle(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    if (n % 2 == 0) return puzzle(n / 2);
    return puzzle(3 * n + 1);
}

归并排序的最好、最坏和平均时间复杂度均为 O(n log n)。（ ）

分治算法将原问题可以分解成规模更小的子问题，使得求解问题的难度降低。

但由于分治算法需要将问题进行分解，并且需要将多个子问题的解合并为原问题的解，所以分治算法的效率通常比直接求解原问题的效率低。（ ）

求解下图中A点到D点最短路径，其中A到B之间的12可以理解为距离。求解这样的问题常用Dijkstra算法，其思路是通过逐步选择当前距离起点最近的节点来求解非负权重图（如距离不能为负值）单源最短路径的算法。

从该算法的描述可以看出，Dijkstra算法是贪心算法。（ ）

下面的C++代码实现归并排序。代码在执行时，将输出一次 HERE 字符串，因为merge()函数仅被调用一次。（ ）

void merge(std::vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    std::vector<int> temp(right - left + 1);
    int i = left;
    int j = mid + 1;
    int k = 0;
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (arr[i] <= arr[j]) {
            temp[k++] = arr[i++];
        } else {
            temp[k++] = arr[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) {
        temp[k++] = arr[i++];
    }
    while (j <= right) {
        temp[k++] = arr[j++];
    }
    for (int p = 0; p < k; ++p) {
        arr[left + p] = temp[p];
    }
}
void mergeSort(std::vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left >= right) {
        return;
    }
    int mid = left + (right - left) / 2;
    mergeSort(arr, left, mid);
    mergeSort(arr, mid + 1, right);
    std::cout << "HERE";
    merge(arr, left, mid, right);
}

假设函数 gcd() 函数能正确求两个正整数的最大公约数，则下面的 lcm() 函数能求相应两数的最小公倍数。（ ）

int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

查字典这个小学生必备技能，可以把字典视为一个已排序的数组。

假设小杨要查找一个音首字母为 g 的单词，他首先翻到字典约一半的页数，发现该页的首字母是 m ，由于字母表中 g 位于 m 之前，所以排除字典后半部分，查找范围缩小到前半部分；不断重复上述步骤，直至找到首字母为 g 的页码。

这种查字典的一系列操作可看作二分查找。（ ）

如下为线性筛法，用于高效生成素数表，其核心思想是每个合数只被它的最小质因数筛掉一次，时间复杂度为 O(n)。（ ）

vector<int> linearSieve(int n) {
    vector<bool> is_prime(n + 1, true);
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
            primes.push_back(i);
        }
        for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; ++j) {
            is_prime[i * primes[j]] = false;
            if (i % primes[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
    return primes;
}

下面的C++代码用于输出每个数对应的质因数列表，输出形如： {5: [5], 6: [2, 3], 7: [7], 8: [2, 2, 2]} 。（ ）

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    if (n > m) swap(n, m);
    map<int, vector<int>> prime_factor;
    for (int i = n; i <= m; ++i) {
        int j = 2, k = i;
        while (k != 1) {
            if (k % j == 0) {
                prime_factor[i] = prime_factor[i] + j;
                k /= j;
            } else {
                ++j;
            }
        }
    }
    for (auto& p : prime_factor) {
        cout << p.first << ": ";
        for (int v : p.second)
            cout << v << " ";
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

下面C++代码是用欧几里得算法（辗转相除法）求两个正整数的最大公约数， a 大于 b 还是小于 b 都适用。（ ）

int gcd(int a, int b) {
    while (b) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

奖品兑换

时间限制：1 s，内存限制：512 MB

【问题描述】

班主任给上课专心听讲、认真完成作业的同学们分别发放了若干张课堂优秀券和作业优秀券。同学们可以使用这两种券找班主任兑换奖品。

具体来说，可以使用 a 张课堂优秀券和 b 张作业优秀券兑换一份奖品，或者使用 b 张课堂优秀券和 a 张作业优秀券兑换一份奖品。

现在小 A 有 n 张课堂优秀券和 m 张作业优秀券，他最多能兑换多少份奖品呢？

【输入描述】

第一行，两个正整数 n、m，分别表示小 A 持有的课堂优秀券和作业优秀券的数量。

第二行，两个正整数 a、b，表示兑换一份奖品所需的两种券的数量。

【输出描述】

输出共一行，一个整数，表示最多能兑换的奖品份数。

【样例输入1】

8 8
2 1

【样例输出1】

5

【样例输入2】

314159 2653589
27 1828

【样例输出2】

1599

【数据范围】

对于60%测试点，保证 1 <= a、b <= 100，1 <= n、m <= 500。

对于所有测试点，保证 1 <= a、b <= 10^4，1 <= n、m <= 10^9。

最大公因数

时间限制：1 s，内存限制：512 MB

【问题描述】

对于两个正整数 a、b，它们的最大公因数记为 gcd(a, b)。对于 k >=3 个正整数 c1、c2、……、ck，它们的最大公因数为：

gcd(c1, c2, ……, ck) = gcd(gcd(c1, c2, ……, c(k-1), ck)

给定 n 个正整数 a1、a2、……、an 以及 q 组询问。对于第 i（1<=i<=q）组询问，请求出 a1+i、a2+i、……、an+i 的最大公因数，也即 gcd(a1+i, a2+i, …… , an+i)。

【输入描述】

第一行，两个正整数 n、q，分别表示给定正整数的数量，以及询问组数。

第二行， n 个正整数 a1、a2、……、an。

【输出描述】

输出共 q 行，第 i 行包含一个正整数，表示 a1+i、a2+i、……、an+i  的最大公因数。

【样例输入1】

5 3
6 9 12 18 30

【样例输出1】

1
1
3

【样例输入2】

3 5
31 47 59

【样例输出2】

4
1
2
1
4

【数据范围】

对于60%的测试点，保证 1 <= n <= 1000，1 <= q <= 10。

对于所有测试点，保证 1 <= n、q <= 10^5，1 <= ai <= 1000。